PARABOLES
I - Pour chacune des paraboles suivantes, déterminer les
coordonnées du sommet A, la valeur du paramètre p et
l'équation de la directrice:
a) y2 = 4x - 8 ; b) y2 = 4 - 6x ; c) x2 = 6y + 2 ;
d) x2 = 2 - y ; e) y = 4x2 - 8x + 7 ;
f) y = -x2/6 + 2x - 7.
II - Préciser les positions relatives de la droite et de
la parabole (tangente, sécante, sans point commun ) :
a) x - y + 2 = 0 et y2 = 8x
b) 8x + 3y - 15 = 0 et x2 = -3y
c) 5x - y - 15 = 0 et y2 = -5x.
III - Déterminer les valeurs du coefficient angulaire k
pour lesquelles la droite y = kx + 2 :
a) coupe la parabole y2 = 4x
b) lui est tangente
c) ne la coupe pas.
IV - Former l'équation d'une droite tangente à la
parabole
a) y2 = 8x et parallèle à la droite 2x + 2y - 3 = 0
b) x2 = 16y et perpendiculaire à la droite 2x+4y+7= 0.
V - Déterminer un point M sur la parabole y2 = 64x aussi
proche que possible de la droite 4x + 3y + 66 = 0.
VI - Former les équations des tangentes à la parabole
y2 = 36x menées par le point A(2,9).
VII - Déterminer les points d'intersection des paraboles y = x2 - 2x + 1 et x = y2 - 6y + 7
VIII - Points d'intersection de la parabole y2 = 24x et
x2 y2
de l'ellipse : ––– + ––– = 1
100 225
IX - Démontrer que deux paraboles d'axe et de foyer
communs, le foyer se trouvant entre leurs sommets,
se coupent à angle droit.
X - Démontrer que si deux paraboles d'axes
perpendiculaires se coupent en quatre points, ces
points sont sur un même cercle.
Corrigé du texte :
PARABOLES :
(A est le sommet)
I a) A:(2,0); p=2 ; D : x=1; F:(0,3)
b) A:(2/3,0); p=3 ; D : x=13/6; F:(-5/6,0)
c) A:(0,-1/3); p=3 ; D : y=-11/6; F:(0,7/6)
d) A:(0,2); p=1/2 ; D : y=9/4; F:(0,7/4)
e) A:(1,3); p=1/8 ; D : y=47/16; F:(0,49/16)
f) A:(6,-1); p=3 ; D : y=1/2; F:(6,-5/2)
II a) tangente, point double y=4; x=2
b) sécante en 2 points (5,-25/3) et (3,-3)
c) sans point commun
IV - a) y = -x - 2 ; b) y = 2x - 16 ;
V - x=9; y=-24; d = 6
VI - y = 3x + 3 ; y = 3x/2 +6
VII - On met sous la forme d'une équation de variable x :
x4 - 4x3 + 7x + 2 = 0; racine -1 en évidence;
et x3 - 5x2 + 5x + 2 = 0 ;racine 2 en évidence
il reste à résoudre x2 - 3x -1= 0
IX - Les paraboles de même foyer sont de la forme :
y2=2px et y2= -2p'(x-(p+p')/2) [foyer en p/2, sommets en 0 et
(p+p')/2]. Elles se coupent en (p'/2;et y2= p'p). On calcule
les pentes en ces points en différentiant. On trouve m = p/y et
m'= -p'/y. Le produit mm' vaut -1 (donc il y a orthogonalité).
X - Une parabole peut avoir pour équation : y2 = 2px et l'autre,
d'axe orthogonal : x2 = 2qy - k. On a donc : y2 - 2px = 0 et
x2 -2qy + k =0; pour un point d'intersection X et Y, on
ajoutera les deux équations :
X2 +Y2 - 2pX - 2qY + k = 0
Et cette équation, pour les 4 points d'intersection, reste la
même; or c'est l'équation d'un cercle de centre (p,q) etc.
A savoir :
L'équation réduite de la parabole P est y2 = 2px
p est le paramètre (>0); Un point M de P est à égale
distance du foyer F(p/2,0) et de la directrice D : x+p/2=0
I - ELLIPSES
1) Equation des ellipses de foyers sur Ox, symétriques par
rapport à l'origine 0, sachant en outre que :
a) les demi-axes valent 5 et 2 (unités de longueurs),
b) grand axe égal à 10, distance focale 2c égale à 8,
c) grand axe égal à 20, exentricité e égale à 3/5,
d) distance entre les directrices = 32 et e = .
2) On donne l'ellipse :
9x2 + 5y2 = 45
Trouver les demi-axes, les foyers, l'exentricité,
l'équation des directrices.
3) Démonter que les tangentes à l'ellipse :
x2 y2
– + – = 1
a2 b2
menées par les extrémités d'un même diamètre sont
parallèles (diamètre : corde passant par le centre 0).
4) Trouver sur l'ellipse :
x2 y2
–– + –– = 1
18 8
un point M aussi proche que possible de la droite
2x - 3y + 25 = 0.
5) Par le point A(10/3,5/3) on mène les tangentes
à l'ellipse :
x2 y2
–– + –– = 1 Former leurs équations.
20 5
6) Par le point C(10,-8) on mène les tangentes à l'ellipse:
x2 y2
–– + –– = 1
25 16
Equation de la corde passant par les points de contact.
7) La droite (D) : x - y - 5 = 0 est tangente à une ellipse
de foyers : A(-3,0) et B(3,0).
Former l'équation de cette ellipse.
8) Une ellipse passe par le point A(4,-1) et est tangente à
la droite x + 4y - 10 = 0. Former l'équation de cette
ellipse dont les axes sont sur les axes de coordonnées.
Corrigé du texte :
ELLIPSES
1)
a) x2/25 + y2/4 = 1 ; b) x2/25 + y2/9 = 1;
c) x2/100 + y2/64 = 1 ; d) x2/64 + y2/48 = 1
2) - x2/5 + y2/9 = 1 => a = 5, b= 9 c = 2 y = 2/3
4) - Distance minimun de ô2x-3y+25ô/13 y = (8-4x2/9)1/2
on trouve x= 3; on garde x = -3; y = 2; d = 13
5) - Utiliser l'équation des tangentes ou calculer dy/dx.
on A:(4,1) b:(2,2) y + x -5 = 0 ; y + x/4 - 5/2 = 0
6) Prendre C:(-1;28/5). Les points de contact sont A(3;16/5) et
B(-4;12/5). La droite AB : 4x -35y + 108
7) Relation de pente 1=-b2X/a2Y ; X-Y=5 ; a2 - b2 = 9
X2/a2 + Y2/b2 = 1 on trouve E : x2/17 + y2/8 = 1
8) On a dy/dx = -(b2.x)/(a2.y) = -1/4 (pente de la droite)
soit : 4b2.X = a2.Y = m ; X + 4Y = 10; X2/a2 + Y2/b2 = 1
16/a2 + 1/b2 = 1.
On élimine m puis on trouve : a2=20; b2=5; m=40; X=2; Y=2.
A savoir :
x2 y2 C'est l'équation réduite de l'ellipse
E) : –– + –– = 1 si a > b l'ellipse est allongée sur Ox et les foyers sont a2 b2 sur Ox (OF2 = c2 = a2 - b2 ).
Si a=b, on retrouve le cercle de rayon R=a.
GENERALITES SUR LES CONIQUES
1) Identifier les coniques suivantes :
a) 2x2 + 2xy + 2y2 + 2x -2y -1 = 0
b) x2 - 2xy + y2 - 4x - 4y + 4 = 0
c) xy + y2 - x - 1 = 0
Donner les équations réduites
2) Construire la conique d'équation :
a) x2 + 4y2 - 2x - 3 = 0
On précisera les éléments remarquables (axes, sommets...)
b) traiter de la même façon la conique :
4x2 - 4xy + y2 + x - 2 = 0
3) Etudier la famille de coniques d'équation :
x2 + 2axy + y2 + 2ax - y = 0
Montrer qu'elles passent par deux points fixes
4) Montrer de façon directe que chacune des équations
suivantes définit un couple de droites parallèles :
a) 4x2 + 4xy + y2 - 12x - 6y + 5 = 0
b) 4x2 - 12xy + 9y2 + 20x - 30y - 11 = 0
c) 25x2 - 10xy + y2 + 10x - 2y - 15 = 0
dont on donnera les équations.
5) Etudier la courbe d'équation :
y2 - ôx2 - 1 ô = 0
6) Soit la courbe d'équation :
4x2 - 4xy + y2 + 6x - 1 = 0
et la droite :
y = kx
Déterminer k pour que cette droite :
a) soit tangente à la conique,
b) la coupe en 2 points,
c) la coupe en 1 point,
d) n'ait pas de point en commun avec la conique.
7) Pour quelles valeurs de m et de n l'équation
mx2 + 12xy + 9y2 + 4x + ny - 13 = 0
définit :
a) une conique à centre unique,
b) une conique sans centre,
c) une conique ayant une infinité de centres
