Liste 1 :   4 Exercices  Variable Aléatoire-Loi Binomiale

1.        Un joueur lance deux dés don't les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité d'apparition.
Le joueur suivant les règles suivantes:
- Si les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd 10 points
- Si les deux dès donnent deux numéros de parités différentes (l'un est pair et l'autre   impair) alors il perd 5 points.
- Dans les autres cas il gagne 15 points.
Le joueur joue une partie et on note X la variable alèatoire correspond au nombre de points obtenus par lui.
       a . Déterminez la loi de probabilité de X puis calculez l'espérance de X.
       b.  Représentez graphiquement la fonction de répartition de X.

Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats des parties sont indépendants les uns des autres.
On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points.
     c. Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de Y?
     d. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points?
     e. Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 points?
 Le joueur joue n parties de suite.
     f. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moinss une fois 15 points?
     g. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins une fois
         15  points est  strictement supérieure à 0,9999 ?

2.         Amérique de Nord Juin 2000 Bac ES
Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.
Un camp d'adolescents propose des stages d'activités nautiques pour débutants avec au choix: Planche à voile , plongée ou ski nautique.
Lors d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes don sept seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski nautique.
Chaque stagiaire ne pratique qu'une seule des trois activités.
I. On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les vingt.
     a: Combien de groupes est-il possible de former?
     b: Déterminez la probabilité de chacun des événements suivants:
          A : " les trois stagiaires pratiquent des activités différentes "
          B : " Les trois stagiaires pratiquent la même activité "
          C : " Au moins l'un des trois stagiaires pratique le ski nautique ".

II . Parmi les trois stagiaires, un seul se prénomme Christian.
     Chaque jour, on choisit un groupe de trois stagiaires chargé du service au
     repas de midi.
       a. Montrez que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné
           pour le service de midi est égale à  0,15.
       b. La durée du stage est de cinq  jours.
            Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour le service
            de midi pendant le séjour ?
       c. Quelle est la probabilité de le choisir exactement une fois ?
       d. Montrez que la probabilité de choisir Christian au moins deux fois
           est inférieur à 0,2 .

3.        D'après France Métropolotaine Septembre 1999 - Bac ES
Un entraineur d'une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (pénalty) de ses joueurs.  Il a alors remarquer que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque
- 5 buts avec une probabilité de 0,2
- 4 buts avec une probabilité de 0,5
- 3 buts avec une probabilité de 0,3.
Chaque joueur, à l'entrainement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d'un joueur  à chacune des 2 séries sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un joueur au cours d'un entrainement.
I.
   a . Calculez la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs au
        buts lors d'un entrainement.
   b . Précisez les valeurs possibles pour X et établir sa loi de probabilité.
        (on pourra s'aider d'un arbre).
   c . Calculez l'espérance de X .

II. L'entraineur considère que le joueur a réussi l'épreuve des tirs au but lorsque X > 8.
     Montrez que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un
     entrainement  est égale à 0,61 .

III.Chaque joueur participe à 10 séances d'entrainement.
    On admet que les épreuves de tirs au but sont indépendantes les unes des autres.
    On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de succés d'un joueur à l'épreuve
    des tirs au but au cours des ces 10 entrainements, c'est à dire le nombre de fois où
    il a marqué au  moins 8 buts.
     Si au cours d'une séance d'entrainement, il ne marque pas au moins  8 buts,
     on dit qu'il a eu un échec.
     Les résultats seront donnés par défaut, avec 3 chiffres après la virgule.
     Calculez pour un joueur :
      a . la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 séances.
      b . la probabilité d'avoir exactement 6 succès .
      c . la probabilité d'avoir au moins 1 succès.

III .Calculez le nombre minimale d'entrainement auxquels doit participer
     un joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un succès soit supérieure à 0,99

Antilles-Guyane 1995 Bac S
Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées
               1    ,       2       ,       3.
Deux concurrents A et B sont en présence.
On admet qu'à chaque lancer, chacun atteint une case et une seule et que les
lancers sont indépendants.
Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1 , 2 , 3
sont dans cet ordre :
                             1                    1           7
                            12                   3          12
Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.
Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
I. Le concurrent A lance la fléchette 3 fois.
   Les résultats des 3 lancers sont indépendants.
   a . Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque fois la case 3?
   b . Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases  1 , 2 , 3 dans cet ordre ?
   c . Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases  1 , 2 , 3 dans n'importe
        quel ordre ?
II. On choisit un des deux concurrents.
     La probabilité de choisir A est égale à deux fois la probabilité de choisir B.
   a . Un seul lancer est effectué.
        Quelle est la probabilité pour que la case 3 soit  atteinte ?
   b . Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte.
        Quelle est la probabilité pour que ce soit le concurrent A qui ait lancé la
         fléchette?

Liste 2: 3 Exercices de Dénombrement-Variable Aléatoire

Exercice 1
Une urne contient 5 boules noires, 4 boules blanches et 1 boule verte. On tire simultanément 5 boules de cette urne.

a.        Combien y-a-t-il de tirages possibles?

b.        Si tous les tirages sont équiprobables, quelle est la probabilité de tirer

                                 i.            aucune boule noire?

                                ii.            autant de boules vertes que de boules blanches?

                              iii.            au moins une boule noire?

                              iv.            exactement une boule noire et exactement une boule verte?

Exercice 2
Una classe de terminale compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur de cette classe interroge au hasard un élève. D'un cours à l'autre, le professeur ne se rappelle pas de l'élève interrogé au cours précédent ce qui fait qu'à chaque cours, le choix de l'élève par le professeur est indépendant des choix précédents.

a.        Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l'élève interrogé soit une fille?

n est un entier positif. On appelle X la variable aléatoire définie par:
"X=nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques consécutifs"

b.        Quelle est la loi de probabilité de X?

c.        Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal à 4 durant 10 cours consécutifs?

d.        Quelle doit être le nombre minimum de cours consécutifs pour la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieur à 0,001?

e.        Durant un trimestre, il y a 36 cours le mathématiques. Quel nombre de filles interrogées peut-on espérer?
 

Exercice 3
Un joueur utilise un dé pipé à 6 faces. La probabilité P_k de voir appaitre la face partant le numéro k est donnée par le tableau suivant:

a et b étant deux nombres réels.
On appelle X la variable aléatoire correspondant au numéro de la face obtenue aprés un lancer.

a.        Sachant que l'espérance de X est : E[X]=2,65, déterminez a et b.

b.        Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair?

c.        Le joueur lance le dé 10 fois de suite. Les résultats des lancers sont indépendants les uns des autres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant un numéro pair sur les 10 lancers.

                                 i.            Quelle est la loi de probabilité de Y?

                                ii.            Vérifiez que l'espérance de Y est : E[Y]=2,5.

                              iii.            Quelle est la probabilité d'avoir Y > 8 ?

d.        A chaque lancer, si le résultat est un nombre pair, le joueur gagne 3 euros, sinon, le joueur perd 2 euros. On appelle G le gain du joueur après 10 lancers.

                                 i.            Quelles sont les valeurs que peut prendre G?

                                ii.            Donnez une relation simple entre la variable Y et la variable G.

                              iii.            Quelle est la probabilité que le joueur ait un gain nul?

Quelle est l'espérance de G?